Hi Graham,
As Chris has already pointed out you will find examples of demi and moitié used with both definite and indefinite articles. I can see where the confusion occurs as in English you only have one word - half.
Demi will usually be used with other words except when you ask for a beer in a bar : Je voudrais un demi s'il vous plaît.
But normally it will be used before the noun it refers to to mean half of it, une demi-heure, une demi-bouteille, une demi-journée, une demi-portion, un demi-verre ... e.g. J'ai fait un demi-marathon, l'hotel est à formule demi-pension.
Moitié is a noun and here are some examples:
J'ai fini la moitié de mon travail , j'ai lu la moitié de mon livre, nous avons mangé la moitié du gateau ( you cannot use demi in that instance - moitié meaning half of that whole).
There are some interesting expressions using demi and moitié , like à demi /à moitié which mean the same thing, half done.
e.g. une bouteille à demi pleine, un pot à demi plein , un mur à moitié peint, un travail à moitié fini
'Ma moitié' which means my better half, my soul mate, my spouse.
Hope this helps but not easy !